PREME/gb.DAT
l
26/JAN/2006
Goldbach pair of primes
Example:
N=208 p=17 N-p=191 2*n=N-2*p=174 M=(p-1)! M+1=(p-1)!+1=5765760*3628800+1
p'=(M+1)/p
(N-2*p)*(N-2*n)!*p'+[(N-2*p)!-1]=0 (mod (N-p))
174*174!*[16!+1]/17+[174!-1]=0 (mod 191)
172!= 213455108077438865629072570145733886730056159330291227886899710221263324938130981514753340236723864719151973034287306573083301055694802251980973629541579310661401455397074590303866009781148657954570396550703618437210885875866741044575478989978191912006970522334798649753600000000000000000000000000000000000000000
174!= 6425425663347064733166342506526881458348150508160426541851455077080468607287618805557105047805861775775912692278116502462953528378524937389131268196460620409529506610362739317326974626432136901748478076969280322196922086635340638923811068556323532935233826663322108954882867200000000000000000000000000000000000000000
174*174!= 1118024065422389263570943596135677373752578188419914218282153183412001537668045672166936278318219948985008808456392271428553913937863339105708840666184147951258134150203116641214893584999191820904235185392654776062264443074549271172743125928800294730730685839418046958149618892800000000000000000000000000000000000000000
174*174!*(16*15*14*13*12*11)*(10*9*8*7*6*5*4*3*2)=174*174!*5765760*3628800=M'
M'= 23392182610560216532641905443845906431580839534601539904101259356759635110161437090336537411936805994783418161162333105606699145001949331766839894562640874300479606075617242006895499535217159118587438953307242658070450947942131121050839776404613414563551676532280704700682005361329596006400000000000000000000000000000000000000000000
M'+(174*174!)=addM'
addM' 23392182610561334556707327833109477375176975211975292482289679270977917263344849091874205457608972931061736381111318114415155537273377885680777757901746583141145790223568500141045702651858374012172438145128146893255843602718193385493914325675786157689480476827011435386521423408287745625292800000000000000000000000000000000000000000
addM'/17 1376010741797725562159254578418204551480998541880899557781745839469289250784991123051423850447586643003631551830077536142067972780786934451810456347161563714185046483739323537708570744226963177186614008536949817250343741336364316793759666216222715158204733931000672669795377847546337977958400000000000000000000000000000000000000000
174!-1=L 6425425663347064733166342506526881458348150508160426541851455077080468607287618805557105047805861775775912692278116502462953528378524937389131268196460620409529506610362739317326974626432136901748478076969280322196922086635340638923811068556323532935233826663322108954882867199999999999999999999999999999999999999999
addL 1376010741797731987584917925482937717823505068762357905932253999895831102240068203520031138066392200108679357691853312054760250897289397405338834872098952845453242944359733067215181106966280504161240440673851565728420710616686513715846301556861638969273290254533607903622041169655292860825599999999999999999999999999999999999999999
addL/191 7204244721454094175837266625565118941484319731740093748336408376417963886073655515811681351132943456066384071685095874632252622498897368614339449592141114374100748399789178362383147156891520964194976129182468930515291678621395359768828803962626382038080053688657633003256760050551271522647120418848167539267015706806282722513089
divide by 191 17 and 191 are a pair of Goldbach's primes
(N-2*p)*(N-2*n)!*p'+[(N-2*p)!-1]=0 (mod (N-p))
(N-2*p)!*[(N-2*p)*p'+1]-1=0 (mod (N-p))
(N-2*p)*p'+(M+1)=0 (mod (N-p))
(N-2*p)*p'=-(M+1) (mod (N-p))
equivalent to
((N-2*p)!M+1)=0 (mod (N-p))
(174!*16!+1)= 134437831095173658233574169217505209376901376635641033931616433084825489138858833852508835700786241349329989431967431641417811178172122596361148819325522266094710379744926678200548847903546891486134706628202544011899143378977765063510573427612720773353745267426900601728057502076606873600000000000000000000000000000000000000000001
(174!*16!+1)/191= 703862990027087215882587273390079630245556945736340491788567712485997325334339444253972961784221158897015651476269275609517336011372369614456276540971320764893771621701186796861512292688727180555679092294254157130362007219778874678065829463940946457349451661920945558785641372128831798952879581151832460732984293193717277486911
divide by 191 17 and 191 are a pair of Goldbach's primes
for 2*n interval primes
(2*n*(2*n)!*p'+[(2*n)!-1]=0 (mod (p+2*n))
equivalent to
((2*n)!*M+1=0 (mod (p+2*n))
for n=1 Twin 4*p'+1=0 (mod (p+2))
2*M+1=0 (mod (p+2))
for n=2 Cousin 96*p'+23=0 (mod (p+4))
24*M+1=0 (mod (p+4))
for n=3 sexy 4320*p'+719=0 (mod (p+6))
720*M+1=0 (mod (p+6))
--------------------------------------------------------------------------------
26/JAN/2006
Important Result:
Theorem 1
for 2*n interval primes
(2*n*(2*n)!*p'+[(2*n)!-1]=0 (mod (p+2*n))
equivalent to
((2*n)!*M+1=0 (mod (p+2*n))
Theorem 2
for Goldbach pair of primes
(N-2*p)!*[(N-2*p)*p'+1]-1=0 (mod (N-p))
equivalent to
((N-2*p)!*M+1)=0 (mod (N-p))
-----------------------------------------------------------------------------
21/FEB/2006
Wilson's Theorem
(p-1)!+1=0 (mod p)
(4*m)!+1=0 (mod p)
[(2*m)!]^2+1=0 (mod p) 2*m=(p-1)/2
[((p-1)/2)!]^2+1=0 (mod p)
(2*m)!*(p-1)!+1=0 (mod p+2*m)
(2*m)*(2*m)!*[(p-1)!+1]=[1-(2*m)!]*p (mod p*(p+2*m))
(2*m)!*[(2*m)*p'+1]-1=0 (mod p+2*m) p'=[(p-1)!+1]/p
(p-2*m)!*(2*m-1)!+1=0 (mod p) Simionov' result
if p=p2 2*m=p1
(p2-p1)!*(p1-1)!+1=0 (mod p2) Partial Goldbah's conjecture
(4*m)!*M+1=0 (mod p) M=(p-1)!
(-1)^(2*m+1)*(2*m+p)!*(2*m-1)!+1=0 (mod p)
((2*m)!)^2+1=0 (mod p) has a solution iff p=1 (mod 4)
Fermat's Little Theorem
a^(p-1)-1=0 (mod p)
[a^(p-1)/2)-1]*[a^(p-1)/2)+1]=0 (mod p)
[a^[(p-1)/4)]^2+1=0 (mod p)
n^2+1=(n+i)*(n-i)=0 (mod p) n=a^((p-1)/2)=a^(2*m)
(p-1)!>(2*m)!>a^(2*m)
Golbach's primes pair
p2-p1=4*m 2*m=(p2-p1)/2 N=p1+p2 p2=N-p1 4*m=N-2*p1
(p2-p1)!*(p1-1)!+1=0 (mod p2) Partial Goldbah's conjecture
(N-2*p1)!*(p1-1)!+1=0 (mod (N-p1))0
[a^(N-2*p1)/2]^2+1=0 (mod p2)
(p1-1)!>((N/2-p1))!>a^(a^(N-2*p1)/2)
last processing----> fast processing
if a=2
[2^((p1-1)/2)]^2+1=0 (mod p2)
Example p1=101 p2=107
2^((101-1)/2)^2)+1=0 (mod 107)
[(2^50)^2+1]/107=
-----------------------
n+1=101+107 n=207
(207-101)!*(207-107)!+1=0 (mod n)
106!*100!+1=0 (mod 207)
-------------------------------------------------------------------------
17/APR/2006
Fermat's Little Theorem:
2^[(p-1)*(q-1)]-1=0 (mod p*q) q=p+2*k
2^[p*q-(p+q)+1]-1=0 (mod p*q) p+q=N p+k=N/2 (p,q) is Goldbach's pair
p=N/2-k q=N/2+k p*q=(N/2)^2-k^2
2^[(N/2)^2-k^2)-N+1]-1=0 (mod (N/2)^2-k^2)
example 1:
N=208 p=101 q=107
2^[100*106]-1=0 (mod 101*107)
2^10600-1=0 (mod 10807)
10600-10592=8 2^10600=2^10592*2^8=2^10592*256
Ref p10600, d10607 files 2^10600-1=0 (mod 10807) is true.
example 2:
N=208 p=17 q=191
2^[16*190]-1=0 (mod 17*191)
2^3040-1=0 (mod 3247)
3040=32*95
Ref p3040, d3247 files 2^3040-1=0 (mod 3247) is true
above examples showing for Goldbah's prime pairs (p,q) are satisfy
2^[(p-1)*(q-1)]-1=0 (mod p*q) conguruent relation
(p-1)*(q-1)=[(N/2-1)^2-k^2)=((N/2-1)-k)*((N/2-1)+k)
(1) Product p*q=P Sum p+q=N
(2) Equation x^2-N*x+P=0
(3) Solution x=(1/2)*(N+/-M) M=(N^2-4*P)^(1/2) M>/=0 N^2>/=4*P
x1=(1/2)*(N+M)=p x2=(1/2)*(N-M)=q
(4) Give Goldbach's pair (p,q) N^2=M^2+4*P
(5) Used in Public Key Cryptography (RKC) Algorithm RSA
phi(P)=phi(p*q)=phi(p)*phi(q) phi(p)=(p-1) phi(q)=(q-1)
example 3:
N=208 p=41 q=167
2^[40*166]-1=0 (mod 41*167)
2^6640-1=0 (mod 6847)
6640-207*32=6640-6624=16 2^6640=2^6624*65536
Ref p6640, d6847 files 2^6640-1=0 (mod 6847)) is true
Example 4 2^[(3-1)*(17-1)*(191-1)]-1=0 (mod( 3*17*191))
2^6080-1=0 (mod 9741)
Ref p6080, d9741 files (true)
Example 5 2^[(3-1)*(5-1)*(17-1)*(191-1)]-1=0 (mod(3*5*17*191))
2^24320-1=0 (mod 48705)
Ref p24320, d48705 files (true)
-------------------------------------------------------------------------
22/APR/2006
Important conculsion:
We get the Generalization Fermat's Little Theorem
2^[Product (p(i)-1)]-1=0 (mod (Product p(i))
All p(i)1
N=Product p(i)^s(i)
All p(i)0
---------------------------------------------
21/APR/2006
Generalization of Fermat's Little Theorem
2^(Product (p-1))-1=0 (mod (Product p))
p0.
certainely, the sum counting number of two primes also have
pi(2p)>0 (or pi(2p)!=0, pi(p)>0)
We get following results:
(1) The primes sequences is infinitive sequences (pi(p)>0).
(2) Any even number is the sum two primes (pi(2p)>0).
(3) Any odd number is the sum of three primes (p1(3p)>0).
(2) If p1 choose in 0 group, p2 in +1 group and p3 in -1 group:
(Sum with [0 -1 -1] mode) or
If p1 choose in 0 group, p2 in -1 group and p3 in +1 group:
The sum counting number of sum 3 primes are
pi(3p)=0 (and forever pi(2p)!=0)
This result prove the sum counting number primes pi(3p) will be
zero if and only if satisfy in the sum of three primes at a distinctive
condictions. The Goldbah Conjedture always true.
We have find out the sufficient and necessary condictions for
the validity of Goldbach Conjecture.
Eigenvalues Problem
Eigenvalues Equation
x^2-(p1+p2)*x+p1*p2=0 x^2-N*x+D=0 N=p1+p2 D=p1*p2
stable solution condiction: 0inf i=1->inf
[zeta(1)]^(-1)= Product (1-1/p(i)) = pi(p1,p2,...)/Product p(i)
i=1->inf i=1->inf
if suppose in complex space
|\
x^2-(N/2)*x+1=0 (N/2) |0 \ D=[(N/2)^2+k^2]^(-1/2)
| \
Eigenvalue Solutions |------\
k
x1=exp(i0) x2=exp(-i0) x1*x2=1
cos(0)=N/2 sin(0)=k
in matrix respresentation
A B N/2 -k, sin(0)*k
[ ]= [ ]
c D -sin(0)*k, N/2 +k
1-(N/2)^2+k^2=k^2*sin(0)^2
-------------------------------------------------------------------------------
Compare with typical laser resonator
g1=(1-t/r1) g2=(1-t/r2) cos(0)=x1*x2
stable resonator condiction 0n
| Goldbach region | N=p^2
0 p | p^2-2*p=p*(p-2) | p |
|-------|-----------------|-------|-------|--------|
| \ / | \
| \ / | \
| \ / | \
p |-------\-----------------/-------|-------\---------
| | \ / | | | \
| p \ / p*(p-1) | p*(p+1)
| \ / | \
| \ / | \
N/2 |----------------|----------------|----------------|
0 N/2 N=p^2
| Non_Goldbach |
| | | | | region |
0 p M(p) M(p)^2/2 M(p)*(M(p)-1) M(p)*(M(p)+1)=2*P
| | |
0 P=M(p)*(M(p)+1)/2 2*P=sigma(P)
In Goldbach region p*(p-2) exist Goldbach pairs
If p and p*(p-1) are coprimes (i,e; Goldbach pair)
If M(p)=(2^p-1) Even perfect number P= (2^(n-1))*(2^n-1)=2^n*(2^n-1)/2
Even perfect number P= 2^p*(2^p-1)/2=(M(p)+1)*M(p)/2
Divisor Function sigma(P)=2*P=(M(p)+1)*M(p)
each prefect number correspending a Mersenne Numbers:
Example:
p M(p)=2^p-1 Perfect Number P(p) M(p) Primality
2 2^2-1=3 P(2)=(3+1)*3/2=12/6=6 prime
3 2^3-1=7 P(3)=(7+1)*7/2=56/2=28 prime
5 2^5-1=31 P(5)=(31+1)*31/2=992/2=496 prime
7 2^7-1=127 P(7)=(127+1)*127/2=16256/2=8128 prime
11 (2^11-1=2047) P(11)=(2047+1)*2047/2=4192256/2=2096128 not Prime 2047=23*89
13 2^13-1=8191 P(13)=(8191+1)*8191/2=67100672/2=33550336 prime
17 2^17-1=131071 P(17)=8589869056 prime
19 2^19-1=524287 P(19)=137438691328 prime
... not primes
31 2^31-1=3147483647 P(31)=2305843008139952128 prime
... not primes
61 2^61-1=2305943009213693951 prime
P(61)=2658455991569831744654692615953842176
...
finding Divisor Function and prefect number to test Mersenne Prime
Mersenne's Primes (43)
2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281,
3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243,
110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021277,
6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457,
--------------------------------------
17/MAY/2006
Lucas-Lehmer Test Mersenne Prime Mp:
Definition: Let S(1) = 4 and S(n+1) = S(n)^2 - 2 for n >= 1.
Let p be a prime number. Then,
Mp = 2^p-1 is prime
if and only if Mp divides S(p-1).
S(p-1)=0 (mod Mp)
Mersenne Number M(n)=2^n-1 M(n)+1=2^n M(n+1)=2*M(n)+1
d(M(n))=M(n+1)-M(n)=M(n)+1=2^n
d^2(M(n))=M(n+1)-M(n)=2^n also power of 2
If k>1 and p=4*k+3 is prime, then 2*p+1 is prime if and only if
2^p=1 (mod (2*p+1))
then 2^p-1 is not Mersenne prime, that is a composite Mersenne number
there are many prime pairs (p, 2*p+1), infinitely.
If p is odd prime, the two statements are equivalent:
(1) Mp=2^p-1 is a prime;
(2) (2^p-1)/3 is a prime, p=k^2+/-1 or p=4*k+/-3 (for some k>0).
sequences
p=k^2+/-/1
p=k^2 1 4 9 16 25 36
+1 2 5 10 17 26 37
-1 3 8 15 24 35
Mp=2^p-1 3 7 31
Mp+1=2^k 2 4 8 16 32
2^k+1= 3 4 9 17 33
2^k+1/3= 1 3 11
p=4*k+/-3
p=4*k 4 8 12 16 20 24 28 32 40 44
+3 7 11 19 23 27 31 35 43
-3 1 5 9 13 17 21 25 29 37 41
L(n+1)=l(n)^2-2 4 14 194 37634 1416317954 ...
2^2^2^... 2 4 16 256 65536 4294967296 1.8446744...(10^19) ......
-----------------------------------------------------------------------------
19/MAY/2006
SUM Factors = Product Factors (Prime pair and Perfect Number ?)
For Quadratic case find prime pair
x^2-N*x+D N=p1+p2 D=p1*p2 if N=D
x=(1/2)*(N+/-(N^2-4D)^(1/2))=(1/2)*(N+/-(N^2-4*N+4-4)^(1/2)
=(1/2)*(N+/-((N-2)^2+(i*2)^2)^(1/2) |\
| \ k=z
=(1/2)*(N+/-2*k) (2*k)^2=((N-2)^2+(i*2)^2) i | \
| \
=(N/2)+/-k ---------
(N/2)-1
x1=(N/2)+k x2=(N/2)-k k is complex number z/(|z|^2)
x1=(N/2)+z x2=(N/2)-z
p1=N-(1+i)/2 p2=(1+i)/2
---------------------------------------------------------------------
22/MAY/2006
Define primes p of the parity groupes +/- according to it's locate at the
rigth or the life repect to an even number (4*d+/-1 two groups, where integer d >0)
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97 101
N 3 7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51 55 59 63 67 71 75 79 83 87 91 95 99 103
+ - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - +
d=0 1 2 3 ...
+group N=4*d+1
-group N=4*d+3
p 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 79 83 89 97 101 103
4*d -|+ -| -|+ |+ -| -| |+ -| |+ |+ -| -| |+ | -|+ | -| -| | -| -| |+ | |+ |+ -|
|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|-----------
N0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 63 66 69 72 75 78 81 84 87 90 93 96 99 102 104
parity + group have prime 5 13 17 29 37 41 53 61 89 97 101
parity - group have prime 3 7 11 19 23 31 43 47 59 67 71 79 83 103
Riemann Hypothesis: If two primes p1 and p2 are belong in two different groups
the sum of these two primes can not get any Goldbah's primes pair. i.e Riemann Hypothesis
is no true. Only to sum with two simular group primes, Riemann Hypothesis is
vilid.
If N/2=Even N/2+/-k integer k (must odd k>0, k=2*d+/-1 d>0) have two groups (+/-)
determinated by k, groups (+/-) interchange according with d to be Even/Odd.
p2=N/2+k and p1=N/2-k all are mixed two groups modes
If N/2=Odd N/2+/-k integer k (must even k>0) have two groups (+/-) determinated
by N/2, groups are the same as (+/-). So p2=N/2+k and p1=N/2-k each have pure and
single group mode.
4*d 4*d+/-1
k Odd N/2=Even (integer odd k>0) N/2=Odd (integer Even k>0)
2*d+/-1 - | + k - | +
------|-|-|------ ------|-|-|------
Odd -/+ +/- each odd k Even +/- same as N/2
interchange
+/- groups
27/MAY/2006
N/2=Odd N/2=Even
-------|-|---|----------- -----|---|-|-------
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
- + - - + -
N/2=Odd N/2=Even
--------|-| -----|---|
1 2 3 1 1 2 3 1 2
+ - + + - +
------|---| -------|-|
2 1 3 2 1 3 2 1 3 2
+ - + - + -
same parities different parities
-----------------------------------------------------------------------------------
27/MAY/2006
Chooce Number modes
pi(1p)= 00 mode
| | | |
| | | |
| | | | !=0
pi(2p)=0+ mode 0- mode
3 | | | | | | | |
3 | | | | | | | |
2p || || || || !=0 || || || || !=0
pi(3p)=0+- mode 0-+ mode 0++ mode 0-- mode
3 | | | | | | | | | | | | | | | |
3 | | | | | | | | | | | | | | | |
3 | | | | | | | | | | | | | | | |
3p |||||||||||| |||||||||||| =0 || || || || || || || || !=0
pi(4p)=0+-- mode 0-+0 mode 0++- mode 0--+ mode
3 | | | | | | | | | | | | | | | |
3 | | | | | | | | | | | | | | | |
3 | | | | | | | | | | | | | | | |
3 | | | | | | | | | | | | | | | |
4p |||||||||||| |||||||||||| =0 |||||||||||| |||||||||||| =0
pi(4p)=0+0+ mode 0-0- mode 0++- mode 0--+ mode
3 | | | | | | | | | | | | | | | |
3 | | | | | | | | | | | | | | | |
3 | | | | | | | | | | | | | | | |
3 | | | | | | | | | | | | | | | |
4p || || || || || || || || =! || || || || || || || || !0
(1) We have find out the sufficient and necessary condictions for
the validity of Goldbach Conjecture, if and only if pi(2p)>0 forever.
pi(3p)>0 if and only if the sum of these three primes have any two primes
belong to same number mode (i.e., two primes all in sequence 4*d+1
(integer d>0) or in sequence 4*d+3 (integer d>0)). else pi(3p)=0 if
and only if any two primes belong to diffenrent number modes (i.e.,
any two primes distingushed in different sequencess 4*d+1 and 4*d+3
(integer d>0)).
(2) In double , Triple and multiple primes sieves, the above results only
determinate by the prime number 3, there are independent with other
primes number 5,7,11,..., and independent the primes numbers sieving
order.
(3) The counting number of sum of primes pi(mp) for below very big number
N, pobability theory can calculate the approximation results. more
precision values must be calculate with discret number theory.
Program DPC-6C.C GBC-6C.C give the Proof this results.
Pef. DPC.5 and GBC.5 data files.
pi(1p) give the Number counting Primes less than the Prime p1.
pi(2p) give the Number of Even N=p1+p2 Goldbach's Prime Pairs (or p1-p2
k-Tuplet Prime Pairs).
pi(3p) give the p1(2p) sieve with p3 Prime.
pi(4p) give the p1(3p) sieve with p4 Prime.
pi(5p) give the p1(4p) sieve with p5 Prime.
pi(6p) give the p1(5p) sieve with p6 Prime.
----------------------------------------------------------------------------
(N/2=Odd)pi(2p)<(N/2=Even)pi(2p)!=0 pi(2p) always does not zero.
For pi(3p)=0 if and only if there are sum up with three difference parities.
(i,e. as +-0) (+-0)pi(3p)=0 (except the pair contain the prime number 3)
(+--)pi(3p)>(+-+)pi(3p)!=0
(--0)pi(3p)>(++0)pi(3p)!=0
Example
Double Sieve pi(2p)>0
N=44 (0- mode)
0 22 44
N=44 N/2=22 (Odd) pi(2p)=6 | 3 7 13 | 31 37 41 |
p1| ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| | ||| ||||| | ||||| ||||| ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| | ||| | | ||0|| | | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| |||
p2 | ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| | ||| ||||| | ||||| ||||| ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| | ||| | | ||0|| | | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| |||
N=46 (0+ mode)
0 23 46
N=46 N/2=23 (Odd) pi(2p)=7 | 3 5 17 | 29 41 43 |
p1| ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| | ||| ||||| | ||||| ||||| ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| | ||| | | ||0|| | | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| |||
p2 | ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| | ||| ||||| | ||||| ||||| ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| | ||| | | ||0|| | | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| |||
N=48 (00 mode)
0 24 48
N=48 N/2=24 (Even) pi(2p)=10 | 5 7 11 17 19 | 29 31 37 41 43 |
p1| ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| | ||| ||||| | ||||| ||||| ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| | ||| | | ||0|| | | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| |||
p2 | ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| | ||| ||||| | ||||| ||||| ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| | ||| | ||||0|| | | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| |||
N=50 (0- mode)
0 25 50
N=50 N/2=25 (Odd) pi(2p)=8 | 3 7 13 19 | 31 37 43 47 |
p1| ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| | ||| ||||| | ||||| ||||| ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| | ||| | | ||0|| | | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| |||
p2 | ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| | ||| ||||| | ||||| ||||| ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| | ||| | | ||0|| | | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| |||
Triple Sieve pi(3p)=0
3p=47+59 +p3=106+p3
3p=(46+1)+59=106
0+ - +
(0+-)pi(3p)=0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140
0 47 59
| | |
p1| ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| | ||| ||||| | ||||| ||||| ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| | ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| ||| | ||| ||||||||||||| ||||| ||||||||| | ||| ||||| ||||||| ||||| ||||| ||| ||||| ||||||| |||
p2 | ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| | ||| ||||| | ||||| ||||| ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| | ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| ||| | ||| ||||||||||||| ||||| ||||||||| | ||| ||
p3 | ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| | ||| ||||| | ||||| ||||| ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| | ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||
3p=(46+1)+61=108
0+ + 0
(0++)pi(3p)!=0 0 47 61
| * * * | * * * * | | * * * * * * *
p1| ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| | ||| ||||| | ||||| ||||| ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| | ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| ||| | ||| ||||||||||||| ||||| ||||||||| | ||| ||||| ||||||| ||||| ||||| ||| ||||| ||||||| |||
p2 | ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| | ||| ||||| | ||||| ||||| ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| | ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| ||| | ||| ||||||||||||| ||||| ||||||||| | ||| ||
p3 | ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| | ||| ||||| | ||||| ||||| ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| | ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||
3p=(46+1)+63=110
0+ 0 -
(0+0)pi(3p)!=0 0 47 63
| * * * | * | | * * * * * *
p1| ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| | ||| ||||| | ||||| ||||| ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| | ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| ||| | ||| ||||||||||||| ||||| ||||||||| | ||| ||||| ||||||| ||||| ||||| ||| ||||| ||||||| |||
p2 | ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| | ||| ||||| | ||||| ||||| ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| | ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| ||| | ||| ||||||||||||| ||||| ||||||||| | ||| ||
p3 | ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| | ||| ||||| | ||||| ||||| ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| | ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | |||||||||
3p=(46+1)+65=112
0+ - +
(0+-)pi(3p)=0 0 47 65
| | | |
p1| ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| | ||| ||||| | ||||| ||||| ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| | ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| ||| | ||| ||||||||||||| ||||| ||||||||| | ||| ||||| ||||||| ||||| ||||| ||| ||||| ||||||| |||
p2 | ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| | ||| ||||| | ||||| ||||| ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| | ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| ||| | ||| ||||||||||||| ||||| ||||||||| | ||| ||
p3 | ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| | ||| ||||| | ||||| ||||| ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| | ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
| | | | | | | | | | | | | | | | | | |
Triple Sieve pi(3p)>0
3p=47+61+p3=108+p3
+ 0 0 0
(0++)pi(3p)!=0
0 47 61
| * * * | * * * * | * * * * * * *
p1| ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| | ||| ||||| | ||||| ||||| ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| | ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| ||| | ||| ||||||||||||| ||||| ||||||||| | ||| ||||| ||||||| ||||| ||||| ||| ||||| ||||||| |||
p2 | ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| | ||| ||||| | ||||| ||||| ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| | ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| ||| | ||| ||||||||||||| ||||| ||||||||| | ||| ||
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0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130
| | | | | | | | | | | | | | | | | | |
3p=41+59+p3=100+p3
- 0 + 0 41 59
(0+-)pi(3p)!=0
| * * * | * * * * * | * * * * * * * * * * *
p1| ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| | ||| ||||| | ||||| ||||| ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| | ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| ||| | ||| ||||||||||||| ||||| ||||||||| | ||| ||||| ||||||| ||||| ||||| ||| ||||| ||||||| |||
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p3 ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| | ||| ||||| | ||||| ||||| ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| | ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||
3p=73+5+9+9+5
+ - 0 0 -
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
| | | | | | | | | | | | | | | | | | |
0 73 5 9 9 5
| * * * * * * * * * * * * | | | | |
| ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| | ||| ||||| | ||||| ||||| ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| | ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| ||| | ||| ||||||||||||| ||||| ||||||||| | ||| ||||| ||||||| ||||| ||||| ||| ||||| ||||||| |||
| ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| |*||| ||||| | ||||| |||||*||| | ||| ||||| | |||||*||| |*||| | ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| ||| | ||| ||||||||
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| ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| | ||| ||||| | ||||| ||||| ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| | ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| ||
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pi(2p)=12 pi(3p)=4 pi(4p)=2 pi(5p)=0
(All primes series except the prime number 3)
Ref gbc-6c 72 4 8 8 4 8 and gbc-6c.6
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
| | | | | | | | | | | | | | | | | | |
0 73 5 9 9 5
| | | | | |
5 11 13 19 29 31 41 43 53 59 61 67
| ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| | ||| ||||| | ||||| ||||| ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| | ||| | ||||0||||*| |||*|*||| |*||| |||||*|*||||| |||*|*||| |||||*|||||*|*|||||*||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| ||| | ||| ||||||||||||| ||||| ||||||||| | ||| ||||| ||||||| ||||| ||||| ||| ||||| ||||||| |||
5 29 53 59
| ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| |*||| ||||| | ||||| |||||*||| | ||| ||||| | |||||*||| |*||| | ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| ||| | ||| ||||||||
5 53
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0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
| | | | | | | | | | | | | | | | | | |
0 73 5 9 9 5
| | | | | |
0 mode pi(1p)=18 | 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71|
| ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| | ||| ||||| | ||||| ||||| ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| | ||| | ||||0||||*|*|||*|*|||*|*|||*|||||*|*|||||*|||*|*|||*|||||*|||||*|*|||||*|||*| ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| ||| | ||| ||||||||||||| ||||| ||||||||| | ||| ||||| ||||||| ||||| ||||| ||| ||||| ||||||| |||
00 mode pi(72)=12 | 5 11 13 19 29 31 41 43 53 59 61 67 |
| ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| | |||*|||||*|*|||||*||||| |||*|*||| |||||*|*||||| |||*| |||*|*||| |*||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| ||| | ||| ||||||||||||
0- mode pi(74)=7 | 7 13 31 37 43 61 67 |
| ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| | |||*|||||*| ||||| ||||| |||*| |||*|||||*| ||||| ||| | |||*| |||*| ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| ||| | ||| ||||||||||
0+ mode pi(76)=8 | 5 17 23 29 47 53 59 71|
| ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| |*||| ||||| |*|||||*|||||*||| | ||| ||||| |*|||||*||| |*||| | ||| |*||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| ||| | ||| ||||||||
00 mode pi(78)=12 | 5 7 11 17 19 31 37 41 47 59 61 67 |
| ||| | ||| ||||||| ||||| ||| |||||*|*|||*|||||*|*||||| |||||*||| |*|||*|||||*| ||||| |||*|*||| |*|||*| ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| ||| | ||| ||||||
0- mode pi(80)=7 | 7 13 19 37 43 61 67 |
| ||| | ||| ||||||| ||||| ||| |||||*| |||*|||||*| ||||| ||||| |||*| |||*||||| | ||||| |||*| |||*| ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| ||| | ||| ||||
0+ mode pi(82)=7 | 11 23 29 41 53 59 71|
| ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| |*||| ||||| |*|||||*||||| ||| |*||| ||||| |*|||||*||| | ||| |*||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| ||| | ||| ||
00 mode pi(84)=14 | 5 11 13 17 23 31 37 41 43 47 53 61 67 71|
| ||| | ||| ||||||| ||||| |||*|||||*|*|||*|||||*| |||||*|||||*|||*|*|||*|||||*| |||||*||| |*|||*| ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| ||| | |||
0- mode pi(86)=7 | 13 19 43 67 |
| ||| | ||| ||||||| ||||| ||| |||||*| |||*||||| | ||||| ||||| |||*| ||| ||||| | ||||| |||*| ||| | ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| ||| | ||
0+ mode pi(88)=7 | 5 17 29 41 47 59 71|
| ||| | ||| ||||||| |||||*||| ||||| |*||| ||||| |*||||| |||||*||| |*||| ||||| |*||||| ||| |*||| | ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| ||| |
00 mode pi(90)=14 | 7 11 17 19 23 29 31 37 43 47 53 61 67 71|
| ||| | ||| ||||||| |||||*|||*|||||*|*|||*|||||*|*|||||*|||||*|||*| |||*||||| |*|||||*|||*| ||| | ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| |||
0- mode pi(92)=4 | 13 19 31 61 |
| ||| | ||| ||||||| ||||| |||*|||||*| ||| |||||*| ||||| ||||| ||| | ||| |||||*| ||||| ||| | ||| | ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| ||
0+ mode pi(94)=7 | 5 11 23 41 47 53 71|
| ||| | ||| |||||||*|||||*||| ||||| |*||| ||||| | |||||*|||||*||| |*||| ||||| | |||||*||| | ||| | ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| |||||||||||||
00 mode pi(96)=10 | 7 13 17 23 29 37 43 53 59 67 |
| ||| | ||| |||||||*|||||*|||*|||||*| |||*||||| |*|||||*||||| |||*| |||*||||| |*||||| ||| | ||| | ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||
0- mode pi(98)=5 | 19 31 37 61 67 |
| ||| | ||| ||||||| ||||| |||*||||| | |||*|||||*| ||||| ||||| ||| | |||*|||||*| ||||| ||| | ||| | ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||
-----------------------
0+ mode pi(76)=8 | 5 17 23 29 47 53 59 71|
| ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| |*||| ||||| |*|||||*|||||*||| | ||| ||||| |*|||||*||| |*||| | ||| |*||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| ||| | ||| ||||||||
00 mode pi(78)=12 | 5 7 11 17 19 31 37 41 47 59 61 67 |
| ||| | ||| ||||||| ||||| ||| |||||*|*|||*|||||*|*||||| |||||*||| |*|||*|||||*| ||||| |||*|*||| |*|||*| ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| ||| | ||| ||||||
(0+00) pi(3p)=4 | 5 17 47 59 |
|||||*|||||||||||*|||||||||||||||||||||||||||||*|||||||||||*|||||||||||||
0- mode pi(80)=7 | 7 13 19 37 43 61 67 |
| ||| | ||| ||||||| ||||| ||| |||||*| |||*|||||*| ||||| ||||| |||*| |||*||||| | ||||| |||*| |||*| ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| ||| | ||| ||||
00 mode pi(78)=12 | 5 7 11 17 19 31 37 41 47 59 61 67 |
| ||| | ||| ||||||| ||||| ||| |||||*|*|||*|||||*|*||||| |||||*||| |*|||*|||||*| ||||| |||*|*||| |*|||*| ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| ||| | ||| ||||||
(0-00) pi(3p)=4 | 7 19 37 61 |
|||||||*|||||||||||*|||||||||||||||||*|||||||||||||||||||||||*|||||||||||
0+ mode pi(82)=7 | 11 23 29 41 53 59 71|
| ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| |*||| ||||| |*|||||*||||| ||| |*||| ||||| |*|||||*||| | ||| |*||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| ||| | ||| ||
00 mode pi(84)=14 | 5 11 13 17 23 31 37 41 43 47 53 61 67 71|
| ||| | ||| ||||||| ||||| |||*|||||*|*|||*|||||*| |||||*|||||*|||*|*|||*|||||*| |||||*||| |*|||*| ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| ||| | |||
(0+00) pi(3p)=5 | 11 23 41 53 71| |
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0- mode pi(86)=7 | 13 19 43 67 |
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00 mode pi(84)=14 | 5 11 13 17 23 31 37 41 43 47 53 61 67 71|
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(0-00) pi(3p)=3 | 13 43 67 |
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0+ mode pi(88)=7 | 5 17 29 41 47 59 71|
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00 mode pi(90)=14 | 7 11 17 19 23 29 31 37 43 47 53 61 67 71|
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(0+00) pi(3p)=3 | 17 29 47 71|
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0- mode pi(92)=4 | 13 19 31 61 |
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00 mode pi(90)=14 | 7 11 17 19 23 29 31 37 43 47 53 61 67 71|
| ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| | ||| ||||| | ||||| ||||| ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| | ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||| |||
(0-00) pi(3p)=3 | 19 31 61 |
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0+ mode pi(94)=7 | 5 11 23 41 47 53 71|
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00 mode pi(96)=10 | 7 13 17 23 29 37 43 53 59 67 |
| ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| | ||| ||||| | ||||| ||||| ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| | ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||
(0+00) pi(3p)=2 | 23 53 |
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0- mode pi(98)=5 | 19 31 37 61 67 |
| ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| | ||| ||||| | ||||| ||||| ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| | ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||
00 mode pi(96)=10 | 7 13 17 23 29 37 43 53 59 67 |
| ||| | ||| ||||||| ||||| ||| ||||| | ||| ||||| | ||||| ||||| ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| | ||| | ||||0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| ||||| ||||||| ||| | ||| | ||| ||||||||||||| ||| ||||| | ||||||||| | ||||| ||||| ||| ||||| ||||| | ||||||||| | ||| | ||||||||||| ||||||||||| ||| | ||| ||||| | ||||||||| ||||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||||||| ||||||||||||
(0-00) pi(3p)=2 | 37 67 |
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(0+00) pi(3p)=2 | 23 53 |
||||||||||||||||||||||| ||||||||||||||||||||||||||||| |||||||||||||||||||
(0-00) pi(3p)=2 | 37 67 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||| ||||||||||||||||||||||||||||| |||||
(0+00 0-00) pi(4p)=0| |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Important Concludsion:
Difference modes for pi(2p) primes series have difference number elements.
if (0-)(2p-2) (00)(2p) (0+)(2p+2)
(0-)pi(2p)series !=(0+)pi(2p)series
(00)pi(2p)series > (0-)pi(2p)series (or (0+)pi(2p)series)
(0-00)pi(3p)series !=(0+00)pi(3p)series
Hence (0-)pi(2p)!=0 (0+)pi(2p)!=0
(0-0+)pi(3p)=0
(0-00)pi(3p)!=0 (0+00)pi(3p)!=0
(0-00 0+00)pi(4p)=0
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Fundamental mode Parities P: pi(np)=0 if and only if Fundamental mode of
Parities is P=(0+-)
dpc-6c 72 2 4 6 2 2 8 pi(6p)=0
(0- mode) pi(3p)!=0
0 10 20 30 40 50 60 70 80
| | | | | | | | |
pi Parity | 5 11 17 29 41 59 71|
k=72 0 0 0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| |
k0=2 - K 0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | |
dpc.2 7 2 - 0|||| ||||| ||||| ||||||||||| ||||||||||| ||||||||||||||||| ||||||||||| |
dpc.3 4 6 0 0|||| ||||| ||||| ||||||||||||||||||||||| |||||||||||||||||||||||||||||||
dpc.4 4 12 0 0|||| ||||| ||||| ||||||||||||||||||||||| |||||||||||||||||||||||||||||||
dpc.5 2 14 - 0|||| ||||||||||| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dpc.6 0 16 + 0||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Fundamental mode Parities P=(0-+) pi(6p)=0
dpc-6c 72 4 2 4 2 2 8 pi(6p)=0
(0+ mode) pi(3p)!=0
Parity 7 13 19 37 43 67 |
k=72 0 0 0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| |
k0=4 + K 0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | |||
dpc.2 6 4 + 0|||||| ||||| ||||| ||||||||||||||||| ||||| ||||||||||||||||||||||| |||||
dpc.3 4 6 0 0|||||| ||||| ||||||||||||||||||||||| ||||||||||||||||||||||||||||| |||||
dpc.4 3 10 + 0|||||| ||||| ||||||||||||||||||||||| |||||||||||||||||||||||||||||||||||
dpc.5 1 12 0 0|||||| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dpc.6 0 14 - 0||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Fundamental mode Parities P=(0+-) pi(6p)=0
dpc-6c 72 6 2 4 4 2 8 pi(5p)=0
(00 mode) pi(3p)!=0
Parity 5 7 11 13 17 23 31 37 41 47 53 61 67
k=72 0 0 0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| |
k0=6 0 K 0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | |||||
dpc.2 13 6 0 0|||| | ||| | ||| ||||| ||||||| ||||| ||| ||||| ||||| ||||||| ||||| |||||
dpc.3 4 8 - 0|||| ||||| ||||||||||| ||||||||||||||||||||||||||||| |||||||||||||||||||
dpc.4 2 12 0 0|||| ||||| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dpc.5 0 16 + 0||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dpc.6 0 18 0 0||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Fundamental mode Parities P=(0-+) pi(5p)=0
(0-+ mode) pi(3p)=0
Parity
5 11 17 29 41 59 71|
k=72 0 0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| |
k0=2 K=2 - 0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | |
k1=2 K=4 + 0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | |||
dpc.3 p3 0||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Fundamental mode Parities P=(0-+) pi(3p)=0
(0+- mode) pi(3p)=0
Parity
7 13 19 37 43 67 71|
k=72 0 0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| |
k0=4 K=4 + 0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | |||
k1=4 K=8 - 0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| |
dpc.3 p3 0||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Fundamental mode Parities P=(0+-) pi(3p)=0
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primes 0 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
4*d series parity -|+ -| -|+ |+ -| -| |+ -| |+ |+ -| -| |+ | -|+ | -| -|
3*k series parity 0+-0+-0+-0+-0+-0+-0+-0+-0+-0+-0+-0+-0+-0+-0+-0+-0+-0+-0+-0+-0+-0+-0+-0+-0
N 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 63 66 69 72
for 3*k series
0 shift primes mix - + N=18 0 5 7 11 13 1719 23 2931 37 4143 47 53 5961 67 71
3*2 shift primes mix -+ N=13 0 5 7 11 13 17 23 31 37 41 47 53 61 67
parity - group | 5 11 17 29 41 59 71
more - =3 23 47 53
0 shift primes mix - + 0 3 5 7 11 13 1719 23 2931 37 4143 47 53 5961 67 71
more + =2 31 61
less - =3 (29) (59) (71)
more - =3 23 47 53
3*2 shift primes mix -+ | 5 7 11 13 17 23 31 37 41 47 53 61 67 |
more + =2 31 61
less + =2 (19) (43)
parity + group | 7 13 19 37 43 67 |
0 shift primes have max mix - + series the other 3*k shift primes have less mix - + series
0 10 20 30 40 50 60 70
| | | | | | | |
K Parity | 5 11 17 29 41 59 71|
k=72 0 0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| |
k0=10 10 + 0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| |||
k1=2 12 0 0|||| | ||| | ||| | ||| ||||| | ||||| ||| | ||| ||||| ||||| | ||||| ||| | ||||| ||| |
0|||||| ||||||||||| ||||||||||| ||||||||||||||||||||||||||||| |||||||||||
pi(3p)=!0 p1 7 19 31 61
p2 17 29 41 71
p3 19 31 43 73
= 43 79 (115) (205)
sum in Brackit are odd number
If p1, p2 take 0+ ,0- or 00 in distinct mode pi(2p)!=0 always vilid and ture
for any Even N=p1+p2, so that pi(2p) can cover all Even numbers.
The strong Goldbach's constjecture always true.
If p1, p2 take 0+ or 0- or 00 in distinct mode and p3 take 00 mode, N=p1+p2 select
the values cover all Even numbers and p3 select shift k2=k2+2 continuously.
Because pi(3p)!=0 always vilid anf ture except pi(3p) occure on (+-0) mode
(i,e. pi(3p)=0) , so that pi(3p) can cover all odd numbers.
The week Goldbach's conjecture always true.
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